密码学基础
信息安全与密码学
信息安全的目标包括隐私性、完整性、认证性和不可否认性。密码学作为数学技术的研究学科，为实现这些安全目标提供了重要保障。
密码学历史上最重要的突破发生在1976年，Diffie和Hellman发表了《密码学的新方向》论文，首次提出了公钥密码学的概念。随后在1978年，Rivest、Shamir和Adleman提出了首个实用的公钥加密方案——RSA算法。
加密目标
密码学的四个核心目标构成了安全框架的基础：
- 保密性：防止未授权访问信息内容
- 数据完整性：检测未经授权的数据篡改
- 认证性：验证通信实体的身份和数据来源
- 不可否认性：防止实体否认先前的承诺或行为
数学函数基础
密码学建立在严格的数学基础之上，特别是各类函数的概念：
1-1函数与双射
1-1（一对一）函数确保共域中每个元素最多对应一个域元素。当函数既是1-1又是满射时，称为双射，这种特性在加解密过程中至关重要。
单向函数
单向函数计算容易但求逆困难，是密码学的重要基础。典型示例包括大整数分解问题和离散对数问题。
陷门单向函数
陷门单向函数在特定信息（陷门）已知时容易求逆，这种特性构成了公钥密码学的基础。RSA算法就是基于整数分解问题的陷门单向函数。
核心密码原语
密码系统依赖以下基本构建块：
- 加密方案：提供保密性保障
- 哈希函数：确保数据完整性
- 数字签名方案：实现认证性和不可否认性
这些原语需要满足严格的安全标准、功能需求、性能指标和实现简便性要求。
数字签名与公钥密码学
数字签名机制
数字签名流程包含两个核心步骤：
签名过程：
- 使用签名者的私钥对消息生成签名
- 将消息与签名一起发送
验证过程：
- 获取签名者的公钥验证函数
- 计算验证结果
- 根据结果接受或拒绝签名
公钥密码学原理
公钥密码学基于加密变换{E_e}和解密变换{D_d}的配对，其中从E_e推导D_d在计算上不可行。工作流程如下：
- Bob生成密钥对(e,d)
- Bob将公钥e发送给Alice，保密私钥d
- Alice使用Bob的公钥加密消息
- Bob使用私钥解密密文
这种机制允许任何实体向Bob发送加密消息，但只有Bob能够解密，即使发送方也无法从密文恢复原始消息。
哈希函数应用
哈希函数将任意长度输入映射为固定长度输出，在数字签名和数据完整性验证中发挥关键作用。.NET框架通过HashAlgorithm类提供了多种哈希算法的实现。
哈希函数可分为两大类：
- 带密钥的哈希函数：如HMAC、KMAC等
- 无密钥的哈希函数：如SHA系列、MD系列等
案例研究
凯撒密码实现
凯撒密码通过字母移位实现加密，数学表示为：
- 加密：$E_n(x) = (x + n) \mod 26$
- 解密：$D_n(x) = (x - n) \mod 26$
实现重点包括处理字母边界情况和特殊字符处理。
Vigenère密码实现
Vigenère密码使用关键词进行多表替换，提供比单表替换更高的安全性。代数表示为：
- 加密：$C_i = (M_i + K_i) \mod 26$
- 解密：$M_i = (C_i - K_i) \mod 26$
实现时需要处理关键词长度与明文匹配的问题。
数学基础的重要性
密码算法的安全性建立在坚实的数学基础之上，包括：
- 概率论：分析算法安全性和随机性要求
- 信息论：评估信息熵和加密强度
- 数论：提供模运算和素数理论基础
- 有限域：构成许多加密算法的代数基础
深入理解这些数学概念对于正确实现和评估密码系统至关重要。
常见问题
问：公钥和私钥在密码学中有什么区别？
答：公钥用于加密和验证签名，可以公开分享；私钥用于解密和生成签名，必须严格保密。两者数学关联但无法从公钥推导私钥。
问：哈希函数为什么不可逆？
答：哈希函数通过压缩映射将任意长度输入转换为固定长度输出，这个过程丢失了信息且存在碰撞可能，因此无法从哈希值唯一确定原始输入。
问：数字签名如何提供不可否认性？
答：因为只有签名者拥有生成有效签名所需的私钥，一旦验证签名有效，签名者就无法否认对消息的签名行为。
问：为什么需要不同的加密模式？
答：不同加密模式（如ECB、CBC、CTR等）针对块密码提供不同的处理方式，影响安全性、并行性和错误传播特性，适用于不同应用场景。
问：量子计算对现有密码系统有什么影响？
答：量子计算威胁基于大整数分解和离散对数问题的密码系统（如RSA、ECC），但促进了对量子抵抗算法（如基于格的密码）的研究和发展。
问：如何选择适当的密钥长度？
答：密钥长度选择需考虑安全需求、性能要求和预期保护期限。一般建议使用2048位以上RSA密钥或256位以上ECC密钥以满足当前安全标准。